如何让机械臂在指定位置区间温和的运动：离线轨迹规划（一）

在上一篇帖子《如何让机械臂到达我们期望的位置：两自由度机械臂模型的控制》中，我们可以让机械臂在关节端到达期望的位置点；但是机械臂在这个过程中是否连续、平稳是完全没有考虑到的。在上一篇帖子《如何让机械臂到达我们期望的位置：两自由度机械臂模型的控制》中使用PD控制机器人关节时，虽然机械臂关节最后能够到达给定位置，但是在运动过程中并不能保证关节端运动的平稳，在2.1章节中PD控制的关节加速度曲线如下所示：

图1 基于PD控制的2dof机械臂时间-关节加速度曲线
由图1可以看到，关节端启动时，加速度并未从0开始，造成机械臂关节端的冲击，使得关节运动不平稳，严重的会增加振动、机械磨损，导致结构破坏。 因此需要增加轨迹规划算法，使初始位置和末位置的角加速度为0，减小运动过程中的冲击，提升动态过程中运动性能；对于机器人已知点到点运动，常用的轨迹规划算法有5次、7次、9次多项式，关节角度、 角速度、角加速度均保证了连续；Double S轨迹规划能够根据给定轨迹运行过程中的最大速度、加速度以及加加速度对轨迹进行规划，在保证机械臂轨迹平滑的同时，还能够保证机械臂运动过程中不会超过电机能提供给关节端的最大力矩，保证了伺服端跟随的稳定性，从而提升机械臂运动过程的平稳性。
这里需要对轨迹规划与路径规划进行区别，本文讨论的是轨迹规划（5次、7次多项式规划），并非路径规划。路径规划与轨迹规划的定义如下：路径规划是在给定的起点和终点之间找到一条最优的路径，主要关注在抽象环境中寻找最优路径，通常不考虑实际运动细节。轨迹规划是在已知路径的基础上，为物体规划出一条最优的运动轨迹，包括速度和加速度信息，以实现特定的目标，如时间最短、能耗最低等。
1、5次多项式轨迹生成
为了获得连续加速度，可以采用5次多项式对轨迹进行规划，需要提供轨迹始末位置、速度以及加速度，通过6个始末条件可以拟合出一段5次多项式：




2、基于平滑轨迹的控制
2.1 基于PD算法的平滑轨迹控制
在帖子《如何让机械臂到达我们期望的位置：两自由度机械臂模型的控制》中，我们采用PD算法控制机械臂关节到达我们所期望的位置，但在控制过程中运动曲线存在起始加速度过大，从而导致实际过程中机器人关节端会出现冲击，从而对机器人造成损坏。因此，利用5次多项式，做好始末位置轨迹的插补，构造出光滑、连续轨迹，送入PD控制器。设置Kp=[1500 1000]与Kv=[150 100]。对于轨迹控制的效果如图5所示。



2.2 带重力与科氏力的PD平滑轨迹控制
与2.1中PD控制算法保持相同的Kp与Kv，加入动力学中的重力项与科氏力，对于轨迹控制的效果如图8所示。

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